Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis: Zweiter Band: by G. Pólya, G. Szegö (auth.)

By G. Pólya, G. Szegö (auth.)

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159. ) Es ist (Verschärfung von 157) n

Die Gleichung C~) x + C~) x + (;9 ) x 3 + ... + G~) xls = o 2 hat nur eine positive Wurzel, nämlich x = 1. ] 46. Die Gleichung vom Grade 162 hat genau 5 positive Wurzeln, die alle einfach sind. ] V. , Kap. 1, § 4, Nr. 42-52 · § 5. Nr. 53. 45 47. ) Wenn das Polynom a0 + a1 x + · · · + anx" nur reelle Nullstellen hat, so ist N = W. 48. •• , Vn ganze Zahlen, 0 ,_c::; v1 < v2 < · · · < Vn, 0 < cx: 1 < cx: 2 < · · · < CX: 11 • Dann ist die Determinante (Verallgemeinerung der Vandermondeschen, die dem Fall v 1 = 0, v 2 = 1 , ...

Es gibt eine Funktion Wn (r) von n und r allein, 0 < r < 1 , so beschaffen, daß für jede in 151 erwähnte Funktion f (z) in der Kreisscheibe Iz I< r die Ungleichung /f(n) (z) / S: Wn (r) gilt. 157. ) Es sei n eine positive ganze Zahl, n > 2. Es gibt eine nur von n abhängende Konstante wn, so beschaffen, daß für jede in 151 erwähnte Funktion I (z) die Ungleichung /an/ gilt. Es sei Wn S: Wn die kleinste Konstante dieser Art; dann ist Wn _ 1 (n + 1)n+1 1 ~4 {n-=-1}n. i ). 158. '__ . ] 159. ) Es ist (Verschärfung von 157) n

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