Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk ''Angewandte Mathematik mit Mathcad'', richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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Wir bezeichnen dann z 0 als Pol m-ter Ordnung. Ordnung, 2. , sonst unendlicher Ordnung oder wesentliche Singularitäten. Wenn wir in einer Laurent-Entwicklung jeden Term einer Konturintegration unterwerfen, wobei die Kontur den singulären Punkt z 0 umschließt, dann erhalten wir für a -1: ´ a 1 ˜ µ µ ¶ œ 1 2˜ S ˜ j ´ µ 1 dz = a 1 ˜ µ z  z0 µ µ ¶ ˜ ´ µ µ ¶ j ˜ r˜ e r˜ e j˜M j˜M dM = 2 ˜ S ˜ j ˜ a 1 f ( z ) dz = a 1  Seite 52 (2-23) Laurentreihen Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 .

N 1 Taylorreihe für ln(x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 1. n1 ln ( 1  x) = 4 ˜ ( x  1)  n1 n lim 2 2 ˜ ( x  1)  = ln ( 1  x)  ln ( 1  x) Seite 35 5 Taylorreihen § 1  x · reihe  x = 0  grad o 2 ˜ x  2 ˜ x3  2 ˜ x5 3 5 © 1  x¹ p4 ( x)  ln ¨ §1 ©1 ln ¨ 2˜n  1 f x· = 2˜ x¹ x ¦ n Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0. 2˜ n  1 0 Diese Reihe konvergiert sicher im Intervall -1 < x <1. 1 x Setzen wir 1 x = z , dann folgt: x= z1 z1 Wir setzen nun x in die vorhergende Reihe ein und ersetzen hinterher z durch x: reihe  x = 0  grad § 1  x· p5 ( x)  ln ¨ © 1  x¹ 3 5 z  1o 2 ˜ x  1  2 ˜ ( x  1)  2 ˜ ( x  1) ersetzen  x = 3 5 x 1 3 5 z1 ( x  1) ( x  1) ersetzen  z = x f ln ( x) = 2 ˜ ¦ n 0 2˜n 1 º ª 1 ( x  1) « » ˜ « ( 2 ˜ n  1) ( 1  x) 2˜n1 » ¬ ¼ Taylorreihe für ln(x).

1 2 ˜x  z= 4 ˜ 2 2 1 4 ˜x  x 1 6 ˜x  8 ˜ 3 Wegen der Symmetrie von g(x) wählen wir die Grenzen von 0 bis u 8 16 ˜ 4 ˜ x  .... dx 0 G ( u) = G ( u) = 3 § 1 2˜ S u ˜ ¨u  ¨ © 3 ˜ 2 ˜ 1 f 1 2˜ S ˜ ¦ n 0 5 7 u  2 5 ˜ 2 ˜ 2 9 u  3 7 ˜ 2 ˜ 3 · u   .... 01  4 Bereichsvariable Seite 49 12 ˜x Näherungspolynom für die Dichtefunktion Diese Näherung verwenden wir nun als Integrand zur Lösung unseres Integrals: 1 10 ˜x Taylorreihen g ( x) Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Messwert innerhalb des Bereiches P- V < x < P+ V (mit P = 0 und V = 1) befindet, entspricht dem Integral dieser Funktion mit den Grenzen a = - V = -1 und b = V = 1.

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