Angewandte Mathematik mit Mathcad, Band 3. Differential- und by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich – die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Differential- und Integralrechnung informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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Xn of die Folge < f(xn) > stets gegen denselben Grenzwert G, so heißt G Grenzwert der Funktion für xn ofbzw. xn of. Wir schreiben dafür: lim f ( x) = G bzw. lim xof f ( x) = G (2-10) xof Ist G gleich "+ f"oder "- f ", so sprechen wir auch von einem uneigentlichen Grenzwert. Es gelten hier auch die vorher genannten Grenzwertsätze. b) Eine Gerade g: x = a (Parallele zur y-Achse) heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: f ( x) = f ; lim xoa lim f ( x) = f (2-11) xoa a heißt Pol der Funktion f.

Die Kurve hat bei x1 = a einen Pol. Abb. 16: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. 5 lim x2 ˜ e x o0 xof 0 5 10 15 20 x Asymptote mit der Gleichung y = 0 Abb. 17: Berechnen Sie die Asymptoten für die Feldstärke eines Kugelkondensators. E ( x) = lim xo0 Abb. 5 10 6 V cm Bereichsvariable Abb. 18: Berechnen Sie die Asymptoten für die magnetische Feldstärke H eines stromdurchflossenen Leiters. Außerhalb des Leiters mit Radius r gilt für die magnetische Feldstärke: lim H ( x) = 0 und lim xof H ( x) = 0 H ( x) = I 2˜ S ˜ x = k x ist Asymptote H ( x) = 0 xof Innerhalb des Leiters gilt unter der Annahme, dass die Stromverteilung über dem Leiterquerschnitt gleichmäßig ist: I I ( x) I = A ( x) A 2 = x ˜S 2 r ˜S 2 = x 2 Ÿ I I ( x) = r 1 2 H ( x)  2 ˜x und damit H ( x) = r I 5˜ A r 2 I ( x) 2˜ S ˜ x 2 = gegebener Strom ˜ mm gegebener Radius I 2˜ S ˜ x I 2 if ( x !

Eine konvergente bzw. divergente Reihe bleibt konvergent bzw. divergent, wenn endlich viele Glieder abgeändert werden. f 4. Konvergiert ¦ k f k ¦ ak gegen s, so konvergiert auch 1 k f ¦ Divergiert f ak , so divergiert auch 1 ¦ k c ˜ ak gegen c s (c ). (1-36) 1 c ˜ ak . (1-37) 1 f 5. ). ). (1-39) nof 1 f lim 6. 732 6 Abb. 2 Abb. 083 s8 s4 ! 718 s8 ! 381 s16 ! 744 s64 ! 4 Die Partialsummenfolge ist nicht beschränkt und divergiert. f ¦ n 1 of n Die Reihe ist divergent! 3: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: f 1 ¦ n = n ˜ ( n  1) 1 2  1 6  1 12  1 20 1  30  ....

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