Angewandte Mathematik mit Mathcad, Band 2. Komplexe Zahlen, by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich komplexer Zahlen, komplexer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Vektoranalysis informieren und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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11 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: j˜ z1  6 ˜ e S 1 4 z1 o 3 ˜ 2 Gesucht sind z = z zr  2 1  3˜ i˜ 2 2 z2  5 4 j˜ 2˜S ˜e 3 1 z2 o 5 8  5 8 ˜i˜3 2 z1 1 bzw. z r = und ihre geometrische Deutung. 4 y z2 geometrisch einer Drehstreckung bzw. Drehstauchung des Zeigers z 1 (Streckung bzw. 8 Drehsinn bzw. Drehung um den Winkel (M2 < 0) im negativen z1 Drehsinn. z2 6 x z1  x z2  x z  xzr Abb. 12 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z  2 ˜ Gesucht sind: z1 = r z r M  arg ( z ) M z z2 = j 3  j ˜ 2˜ z1 3.

15 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = (10 ; 60°). 581j z1 Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert ! 01  S Bereichsvariable Zeiger in der Gaußschen Ebene 10 z1 8 6 yz 4 y z0 2 y z1 y( M ) 10 8 6 4 2 z1 z0 0 2 4 6 8 2 4 6 8 10 xz  x z0  x z1  x( M ) Abb. 16 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = 8. Gesucht ist: 3 8 z1 3 z1 Im Reellen ! 2 z1  8 3 zk = gegebene komplexe Zahl Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert ! 01  S Bereichsvariable Zeiger in der Gaußschen Ebene 10 8 6 yz 4 y z0 z1 2 y z2 y( M ) 10 8 6 4 2 z2 z1 z0 y z1 0 2 4 6 8 2 10 Dreiteilung des Kreises mit Radius r = |z 0 | 4 6 8 10 Abb.

2-47) Z˜C j˜Z˜C Damit wird ein kapazitiver Widerstand durch den imaginären Widerstandsoperator dargestellt: ZC =  j ˜ ˜ I = j ˜ (2-46) 1 =  j ˜ XC . Z˜C Der Leitwertoperator ergibt sich demnach zu: YC = 1 ZC (2-48) = j ˜ Z ˜ C = j ˜ BC . (2-49) XC heißt kapazitiver Blindwiderstand (Reaktanz) und B C kapazitiver Blindleitwert (Suszeptanz). Der Zeiger U wird gegenüber I durch den Faktor 1/j = e - jS/2 um - 90° gedreht. Phasenmäßig liegt der kapazitive Wechselstromwiderstand X C um - 90° phasenverschoben zum Ohmschen Widerstand.

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